Διερευνώντας τα γρανάζια

[Κατερίνα Γλέζου]

Γρανάζια - Gears

https://scratch.mit.edu/projects/49102204/

Αλλάξτε τη γωνιακή ταχύτητα (ω1) του 1ου γραναζιού (αριστερά).
Επιλέξτε το μέγεθος του γραναζιού (αριθμοί-κουμπιά 1, 2 3, 4, 5).

Change the angular speed (ω1) of the first gear (left). Choose the gear (buttons 1, 2 3, 4 and 5).

[Κατερίνα Γλέζου]

http://makolas.blogspot.gr/2011/06/scratch.html

Οι οδοντωτοί τροχοί (κοινώς γρανάζια) χρησιμοποιούνται κυρίως για τη μετάδοση κίνησης από έναν άξονα σε έναν άλλο. Για πρώτη φορά σαφή αναφορά στους οδοντωτούς τροχούς έχουμε από τον Έλληνα μηχανικό και γεωμέτρη Ήρωνα που έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου περίπου τον 1ο π.Χ ή 1ο μ.Χ αιώνα.
Ο γνωστός «Μηχανισμός των Αντικυθήρων» είναι η αρχαιότερη σωζόμενη διάταξη με γρανάζια και έχει προβληματίσει και συναρπάσει πολλούς ιστορικούς της επιστήμης και της τεχνολογίας αφότου ανακαλύφθηκε. Πρόκειται για ένα αστρονομικό μηχάνημα ακριβείας, τοποθετημένο σε ένα ξύλινο κιβώτιο και αποτελούμενο από 30 αλληλοεμπλεκόμενους οδοντωτούς τροχούς.

Οι οδοντωτοί τροχοί βρίσκουν εφαρμογή τόσο στο κιβώτιο ταχυτήτων του αυτοκινήτου (βλέπε το ένθετο στο βιβλίο Φυσικής Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου, σελ. 148-150) όσο και στο σύστημα μετάδοσης κίνησης στο ποδήλατο (συνδυασμός ιμαντοκίνησης και οδοντωτών τροχών, όπου η αλυσίδα έχει αντικαταστήσει τον ιμάντα).

Στην εκπαίδευση τα γρανάζια παίζουν σημαντικό ρόλο Στη διδασκαλία Ρομποτικής τα γρανάζια συνιστούν ένα από τα προνομιούχα αντικείμενα (βλέπε στο άρθρο LEGO Mechanisms: Gears and Motors http://www.cs.bham.ac.uk/internal/courses/robotics/lectures/Gears.pdf ) 

Το απλούστερο σύστημα μελέτης των οδοντωτών τροχών περιλαμβάνει δύο γρανάζια που το ένα συναρμόζει με ένα άλλο και περιστρέφονται με αντίθετες φορές. Το πρώτο γρανάζι (κινητήριο) έχει έναν αριθμό δοντιών Δ1 και γωνιακή ταχύτητα ω1 και μεταδίδεται ισχύς στο δεύτερο γρανάζι (κινούμενο) που έχει Δ2 δόντια και γωνιακή ταχύτητα ω2. Για να περιστρέφεται ομαλά, γύρω από άξονα, στο κινητήριο γρανάζι θα πρέπει να ασκείται ροπή στρέψης.

Είναι γνωστό ότι 
α) στα σημεία επαφής οι δύο οδοντωτοί τροχοί έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα δηλαδή υ1 = υ2 οπότε ω1 * r1 = ω2 * r2 . 
Με άλλα λόγια ισχύει η πρόταση:
«Ο λόγος των γωνιακών ταχυτήτων των γραναζιών είναι αντιστρόφως ανάλογος με το λόγο των ακτίνων» 
β) Επειδή η ισχύς που δίνεται από το πρώτο γρανάζι είναι ίση με την ισχύ που δίνεται από το δεύτερο θα ισχύει:
τ1 * ω1 = τ2 * ω2
γ) Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα δόντια των γραναζιών είναι ίδια σε μέγεθος συμπεραίνουμε ότι ο λόγος των περιφερειών τους είναι ίσος με το λόγο των δοντιών τους. Αυτό μας οδηγεί σε ένα άλλο πιο ενδιαφέρον συμπέρασμα: 
ω1 / ω2 = Δ2 / Δ1
«Οι γωνιακές ταχύτητες των δύο οδοντωτών τροχών είναι αντιστρόφως ανάλογες των αριθμών των δοντιών τους»
Αυτός ο λόγος αποτελεί το «λόγο μετάδοσης» m = Δ2 / Δ1 και χρησιμοποιείται για την άμεση εξαγωγή συμπερασμάτων όπως για παράδειγμα:

1. Από μικρά/μεγάλα σε μεγαλύτερα/μικρότερα γρανάζια έχουμε αύξηση/ελάττωση της ροπής κατά ένα παράγοντα ίσο με το λόγο μετάδοσης
2. Από μικρά/μεγάλα σε μεγαλύτερα/μικρότερα γρανάζια έχουμε ελάττωση/αύξηση της γωνιακής ταχύτητας κατά ένα παράγοντα ίσο με το λόγο μετάδοσης

Στον πυρήνα του προγράμματος αξιοποιήσαμε δύο από τις παραπάνω γνώσεις 
m = Δ2 / Δ1 και ω1 / ω2 = Δ2 / Δ1

[Κατερίνα Γλέζου]

Τα γρανάζια