Δημιουργία φράκταλ με Logo

[Ηλίας Κουσκουμβεκάκης]

Εισαγωγή

Στη συγκεκριμένη εργασία θα σχεδιάσουμε εκπαιδευτικό υλικό με σκοπό τον εμπλουτισμό του δικτύου "Η Logo στην εκπαίδευση: Μια κοινότητα πρακτικής και μάθησης" (http://logogreekworld.ning.com).

Η εργασία αφορά στη δημιουργία εκπαιδευτικού υλικού με σκοπό μαθητές 3ής Γυμνασίου – 1ης Λυκείου να μπορέσουν να κατασκευάσουν φράκταλ με τη βοηθεία της γλώσσας Logo στο περιβάλλον Microworlds Pro.

Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο
σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως
περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες
φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα
εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό
επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε
κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.


Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει αριθμητική, μαθηματική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασμό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική
ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους,
δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά
σχήματα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη
βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα φράκταλ,
όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτομέρειες, οι οποίες όμως γίνονται
ορατές μόνο μετά από μεγέθυνσή τους σε κάποια κλίμακα.

Στη συγκεκριμένη εργασία θα περιγράψουμε πως δημιουργούνται τρία φράκταλ:

Α. Τρίγωνο
Β. Χιονονιφάδα
Γ. Δένδρο

[Ηλίας Κουσκουμβεκάκης]

Βιβλιογραφία

[1] http://el.wikipedia.org/wiki/Φράκταλ
[2] http://users.thess.sch.gr/salnk/didaskalia/microworldspro/mwprotut.htm
[3] http://11dim-evosm.thess.sch.gr/downloads/microw/entoleslogo.pdf
[4] http://www.microworlds.com/library/math/recursive/

Ανατροφοδότηση

Μπορείτε να βρείτε στο παρακάτω link ολόκληρη την εργασία μορφοποιημένη σε MS Word (.doc) και Adobe PDF (.pdf), τα αρχεία εργασιών για το Microworlds Pro καθώς και ένα Φύλλο δραστηριότητας για την εκμάθηση όλων των παραπάνω.

std02189_assLogo.zip

[Ηλίας Κουσκουμβεκάκης]

Φράκταλ Δένδρου

Το τελευταίο φράκταλ που θα δημιουργήσουμε είναι αυτό του δένδρου. Ο αλγόριθμος που το παράγει είναι παρόμοιος με αυτόν για τη χιονονιφάδα.
Δημιουργούμε ένα νέο project στο Microworlds Pro πηγαίνοντας στο μενού Αρχείο->Νέα Εργασία.
Στο δεξί μέρος, στην καρτέλα Διαδικασίες, γράφουμε τον παρακάτω κώδικα για τη διαδικασία δέντρο που είναι αυτή που θα κατασκευάσει το φράκταλ μας:
για δέντρο :μήκος
αν :μήκος < 5 [στοπ]
μπ :μήκος
αρ 45
δέντρο :μήκος / 2
δε 45
δέντρο :μήκος / 2
δε 45
δέντρο :μήκος / 2
αρ 45
πι :μήκος
τέλος
Ύστερα δημιουργούμε μια χελώνα απο τη γραμμή εργαλειών.
Τέλος πληκτρολογούμε στο κέντρο εντολών τις παρακάτω δύο εντολές ώστε να εκτελεστεί η διαδικασία μας και η χελώνα μας να ζωγραφίσει το επιθυμητό φράκταλ:
στκ
δέντρο 120
Αν έγιναν όλα σωστά θα πρέπει να σχηματιστεί το παρακάτω σχήμα-φράκταλ δέντρου:

[Ηλίας Κουσκουμβεκάκης]

Φράκταλ Χιονονιφάδας

Το επόμενο φράκταλ που θα δημιουργήσουμε είναι αυτό της χιονονιφάδας. Ο αλγόριθμος που το παράγει είναι λίγο πιο πολύπλοκος αλλά, όπως και αυτός για το τρίγωνο, βασίζεται στην ίδια βασική ιδέα της αναδρομής.
Δημιουργούμε ένα νέο project στο Microworlds Pro πηγαίνοντας στο μενού Αρχείο->Νέα Εργασία.
Στο δεξί μέρος, στην καρτέλα Διαδικασίες, γράφουμε τον παρακάτω κώδικα για τις διαδικασίες χιονονιφάδα και πλευρά που είναι αυτές που θα κατασκευάσουν το φράκταλ μας:
για χιονονιφάδα :ν :επίπεδο
επανάλαβε 3[πλευρά :ν :επίπεδο δε 120]
τέλος
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
για πλευρά :ν :επίπεδο
αν :επίπεδο = 0 [μπ :ν στοπ]
πλευρά :ν / 3 :επίπεδο - 1
αρ 60
πλευρά :ν / 3 :επίπεδο - 1
δε 120
πλευρά :ν / 3 :επίπεδο - 1
αρ 60
πλευρά :ν / 3 :επίπεδο - 1
τέλος
Ύστερα δημιουργούμε μια χελώνα απο τη γραμμή εργαλειών.
Τέλος πληκτρολογούμε στο κέντρο εντολών τις παρακάτω δύο εντολές ώστε να εκτελεστεί η διαδικασία μας και η χελώνα μας να ζωγραφίσει το επιθυμητό φράκταλ:
στκ
χιονονιφάδα 250 4
Αν έγιναν όλα σωστά θα πρέπει να σχηματιστεί το παρακάτω σχήμα-φράκταλ χιονονιφάδας:

[Ηλίας Κουσκουμβεκάκης]

Φράκταλ Τριγώνου

Το φράκταλ τριγώνου είναι ίσως το πιο απλό απο όλα τα φράκταλ οπότε και θα αρχίσουμε την κατασκευή των φράκταλ από αυτό.
Δημιουργούμε ένα νέο project στο Microworlds Pro πηγαίνοντας στο μενού Αρχείο->Νέα Εργασία.
Στο δεξί μέρος, στην καρτέλα Διαδικασίες, γράφουμε τον παρακάτω κώδικα για τη διαδικασία τρίγωνο που είναι αυτή που θα κατασκευάσει το φράκταλ μας:
για τρίγωνο :ν
αν :ν < 10 [στοπ]
επανάλαβε 3 [τρίγωνο :ν / 2 μπ :ν δε 120]
τέλος
Ύστερα δημιουργούμε μια χελώνα απο τη γραμμή εργαλειών.
Τέλος πληκτρολογούμε στο κέντρο εντολών τις παρακάτω δύο εντολές ώστε να εκτελεστεί η διαδικασία μας και η χελώνα μας να ζωγραφίσει το επιθυμητό φράκταλ:
στκ
τρίγωνο 300
Αν έγιναν όλα σωστά θα πρέπει να σχηματιστεί το παρακάτω σχήμα-φράκταλ: